サンダーバードでメールアカウントを設定する際に、
初期設定では、メールアカウントのユーザ名の指定が省略されます。

そのため、メールアドレスの「@」の前の部分(infoやmailなど)と、
メールアカウントの送受信用ユーザー名が違う場合に、
下記の追加の設定をする必要があります。

以下、手順を記します。
※バージョンによっては画面が異なる場合がありますので適宜読み替えてください。

1)サンダーバードの左上にあるファイルから
新規作成⇒既存メールアカウントを選択します。

Thunderbird設定00

2)メールアカウントの設定が開かれるので
お名前、メールアドレス、パスワードを
MyASP契約時に発行されたメールアドレス、パスワードを記入します。
入力後、下記の「手動設定」をクリックします。

Thunderbird設定01-1

3)ここでは、受信サーバ、送信サーバの
ポート番号などを確認して設定し
ユーザ名 (受信サーバ、送信サーバ)
の名前を「mail0」(0はゼロ)と入力して「完了」をクリックします。 

Thunderbird設定02
 

補足:iPhoneのメールアプリの場合の注意事項

上記はサンダーバードの設定例でしたが、
iPhoneのメールアプリで受信設定する場合について、

「アカウント追加画面」で「その他」で設定した時にエラーになる場合は、
「Exchange」で設定していただくことでうまくできるケースがあります。

アカウント追加画面 (1)